Començarem amb l'antitransformada d'U partit S elevat a 5.
Com podríem resoldre aquesta antitransformada.
Quan jo miro la taula.
Anem a mirar la taula si trobem alguna cosa que s'assembli a U partit S elevat a 5.
Clar jo miro aquí i que en el denominador tingui S elevat a 5.
L'única opció és aquesta d'aquí.
Llavors fixeu-vos si jo vull que la S estigui elevada a 5.
La N ha de ser 4 i per tant deixem que ho posi aquí.
El que més s'assembla al que estic buscant és.
S elevat a 4.
T elevat a la quarta.
Quan jo miro la taula de transformades a la plaça.
T com a transformada.
4 factorial dividit S elevat a N més 1 que serà 5.
Per tant estic molt contenta perquè veig que aquest S elevat a 5 ja el tinc.
Vale el meu petit problema és que jo volia calcular l'antitransformada de 1 dividit S elevat a 5.
I en canvi aquí no tinc un 1 tinc 4 factorial.
Què hi puc fer.
No es puc utilitzar la propietat de l'inialitat.
Què diu.
Què diu la propietat de l'inialitat.
La tinc aquí que si jo multiplico per una constant.
A una funció la seva transformada a la plaça simplement queda multiplicada per una constant.
És a dir que si jo multiplico el que ja hi ha aquí.
El 4 factorial.
Dividit S elevat a 5.
El multiplico per.
Jo vull fer.
Vull fer millor.
Vull fer un copiet per la.
No me la fa això.
Copi.
Basta.
I ara fem la linalitat de color taronja.
Què diu la linalitat.
Que si jo multiplico això per una constant.
Aquí també quedarà multiplicat per aquella constant.
O sigui jo què sé si multiplico per A aquí queda multiplicat per A.
Això està clar.
Això és la propietat de linalitat.
Que jo si multiplico simplement per un nombre real.
A una banda en un domini a l'altre domini també queda multiplicat per la mateixa constant.
Fantàstic.
Què és el que jo volia.
No vull 4 factorial.
Vull un 1.
Aleshores hem de multiplicar per A.
Multiplica per 1 partit 4 factorial.
I aquí quedarà multiplicat per 1 partit 4 factorial.
I fixeu-vos que el 4 factorial es simplifica amb el 4 factorial.
I aquí a la dreta tens aquella funció que tu volies tenir.
Que és el 1 partit s elevat a 5.
I la seva antitransformada que és allò que tu estaves buscant és això d'aquí.
Té la quarta dividit 4 factorial.
Dubtes.
Treguntes.
Comentaris.
Podeu escriure el xat.
No.
Fem una altra.
Una miqueta més difícil.
Poca a poquet.
Anem ara a fer el segon problema.
Anem a fer ara l'antitransformada.
1 partit.
S al quadrat més 7.
Quan jo miro aquesta transformada.
1 partit s al quadrat més 7.
A la taula de transformades intento buscar algo que s'hi assembli.
1 partit s al quadrat més un número.
El que més s'hi assembla.
El denominador que més s'hi assembla és aquest.
S al quadrat més omega al quadrat.
Perquè seria s al quadrat més alguna cosa al quadrat.
El 7 podria ser aquest número que hi ha aquí.
El que passa que tant sinus com cosinos tenen aquest denominador.
Quin dels dos em convé agafar.
Fixa't que la teva funció és 1.
Un número en el numerador.
Per tant no has d'agafar el que té la S.
Has d'agafar el que té un número.
Una constant.
Per tant de totes les funcions que hi ha a la meva taula de transformades.
Quina és la que s'assembla més a 1 partit s al quadrat més 7.
Doncs la que més s'hi assembla és el sinus.
El sinus.
De T.
Deixa'm pensar.
El sinus de 7T. Per què?
Fixeu-vos que.
Vaig més poca por.
Això d'aquí.
1 partit s al quadrat més 7.
Esteu d'acord que ho podríem escriure com s al quadrat més
arrel de 7 al quadrat.
Per què he fet això? Doncs perquè jo necessito saber què va l'òmega.
I clar el denominador ha de ser s al quadrat més omega al quadrat.
Si jo ho he escrit d'aquesta manera sé que la meva omega ha de ser arrel de 7.
Per tant ara sí de totes aquestes funcions que tinc a la meva taula.
La que més s'assembla al que jo tinc aquí és el sinus.
De arrel de 7 per T.
Per què? Si jo em miro la meva taula de transformades.
El sinus de arrel de 7.
La omega val arrel de 7T.
La seva transformada val omega.
Vale. Arrel de 7.
Dividit.
S al quadrat.
Més omega al quadrat.
Posar arrel de 7 al quadrat.
Ho copis del quadre perquè ja saps.
Llavors fixeu-vos.
Això que tinc aquí el denominador és exactament aquest denominador.
Això ja ho tinc.
Clar jo no volia calcular l'antitransformada d'aquesta funció.
Jo volia calcular l'antitransformada de 1 partit això.
Però això és facilíssim. És el que hem vist abans.
Això és simplement una constant de diferència respecte al que vull.
Per tant, de nou, si ara aquí aplico la propietat de linearitat.
Anem a fer-ho. La linearitat serà taronja avui.
Si ara apliquem la propietat de linearitat jo puc multiplicar
pel numerito 1 partit arrel de 7, que és un valor real.
I, evidentment, si multiplico en alt de la dreta, també multiplico a l'esquerra.
Si multiplico la transformada de la plaça per una constant,
la f de t, la f en el domini del temps,
també queda multiplicada per a aquella mateixa constant.
Però què ha passat? Doncs que aquesta arrel de 7 es simplifica amb la arrel de 7.
I aquí a la dreta ens queda aquella funció 1 partit això,
que era la funció de la qual volíem calcular l'antitransformada.
I, per tant, l'antitransformada que estàvem buscant és
sinus d'arrel de 7t partit arrel de t.
Aquesta és la funció, la solució que estàvem buscant.
¿Alguna altra? Hi ha preguntes fins aquí.
De moment, fixeu-vos que estic utilitzant la taula de transformades
i la propietat de linearitat.
Anem a fer algun problema més.
Següent, anem a fer un altre problema, problema 3.
Anem a agafar i a calcular l'antitransformada de,
per exemple, aquesta,
Jo vull calcular l'antitransformada d'aquesta funció.
Llavors, fixeu-vos que tinc en el denominador S quadrat més 4.
De nou, té aquesta pinta de S quadrat més un numerito.
Però en el numerador,
tant tinc un terme que porta S com un terme que no porta S.
I quan jo miro la taula de transformades,
quan hi ha S és un cosinos i quan hi ha un numerito és un sinos.
Però a més a més, fa moltes vegades que estem utilitzant aquesta propietat de linearitat.
Doncs això és el que farem servir aquí.
I és que el primer pas aquí és adonar-se o fer servir que l'antitransformada,
l'antitransformada és també lineal.
Per tant, aquí estem fent servir la linealitat de l'antitransformada de la plaça.
Per tant, l'antitransformada que estem buscant és l'antitransformada de la part amb S,
que si voleu podríem escriure aquí almenys dos S,
i el denominador S quadrat més 4.
I l'altra part, que és només un terme constant, és 6 dividit S quadrat més 4.
Per tant, això d'aquí ens recorda a la funció cosinos i això d'aquí ens recorda a la funció sinos.
Ara fixem-nos aquí, hem de tenir al cap que el cosinus d'òmega T és S,
S quadrat mésòmega quadrat, i en el cas del sinus, molt similar, però en el numerador hi tenim l'òmega.
Per tant, ara hem de calcular per aquest cas i aquest cas quines són les antitransformades.
És bastant similar al que hem fet.
Anem a començar per aquest d'aquí, no sé, és com dos passos, aquest d'aquí li mirem a majúscula, no sé, i aquest d'aquí B majúscula.
Vale, a majúscula.
Aquí, permeteu-me que utilitzem que almenys dos surta fora per linearitat
i aquí el sis també surt a fora per linearitat, per linearitat de l'antitransformada.
No només ho separem amb la suma, sinó que els termes que són constants surten a fora.
Per tant, la A, el que jo calcularé directament és l'antitransformada de S partit S quadrat més 4.
Vale, fixeu-vos que això surt directament a la taula.
Vale, la transformada de S partit S quadrat més 4 és directament mirar aquí i perquè siguiòmega al quadrat, 2 al quadrat és 4, per tant l'òmega val 2, per tant és el cosinus de 2t.
Per tant, això és aplicació directa de la taula de transformades.
Vale, ara fem el B, el B, el que hem de calcular és l'antitransformada de U, ah, mira, per fer-ho més fàcil,
anem a deixar aquí, ara la liaré una mica eh, però, el 6 el separo en dos per tres, dos per tres, sis, vale, però deixo el dos aquí dins, deixo el dos aquí dins perquè llavors aquesta també és directa.
Quan vaig a la meva taula, fixeu-vos que dos, l'òmega seria dos, dividit S quadrat més 4 és directament el sinus de 2t, ho veieu, que és directe.
Vale, per tant, l'antitransformada que volíem calcular quina seria? Seria igual, seguiria aquí sota, vale, segueixo aquí, l'antitransformada seria el menys dos, aquest menys dos que hem tret a fora, vale,
aquest menys dos que l'hem tret a fora, menys dos per el cosinus de 2t,
més tres vegades perquè aquest tres l'hem tret a fora i el resultat d'antitransformar això que és el sinus de 2t.
Per tant, aquest seria el resultat de calcular l'antitransformada d'aquesta funció d'aquí, vale, de nou, fixeu-vos, què hem fet servir?
Linealitat, però en aquest cas de l'antitransformada, vale, l'antitransformada d'una combinació lineal de coses, les constants poden sortir fora i l'antitransformada de la suma és la suma de les antitransformades, vale,
i després fixeu-vos que simplement hem utilitzat la taula de transformades, vale.
Molt bé, anem a fer un altre, anem a fer un més d'aquest tipus, vale, anem a calcular l'antitransformada de S dividit S menys 1 per S més 3, vale.
Clar, quan vull calcular l'antitransformada d'aquesta funció, la primera cosa que faig és anar a la taula de transformades i mirar si hi ha alguna cosa que s'hi assembla, no?
I resulta que hi ha algunes coses que s'assemblen, però no n'hi ha exactament, no, perquè aquí, per exemple, hi ha un exponencial que és 1 partit S menys 1,
però clar, és que aquí n'hi ha vàries, hi ha S menys 1 i S menys 3, tot en el denominador.
Llavors, quan haguem de calcular antitransformades de quotients així de polinomis, on en el denominador tinguem diverses arrels, fixeu-vos,
serà necessari fer la descomposició en fraccions simples.
Llavors, esto lo pongo en rojo, com un avís superimportant, heu de repassar, si no ho teniu molt clar, la descomposició en fraccions simples,
perquè apareixerà molt en el tema de la transformada de la plaç, precisament per calcular antitransformades de funcions que no siguin les tribials que surten directament a la taula.
Per tant, és de veritat molt important que repasseu descomposició en fraccions simples, que això ho vau veure a l'assignatura de càlcul de primer.
Aquí en concret, el que farem és descomposar en fraccions simples S, el terme aquest, S dividit i S menys 1, S més 3.
Descomposar en fraccions simples vol dir que per cadascuna de les arrels que apareixen aquí en el denominador
tindré un terme diferent.
Aquestes arrels que apareixen aquí són simples, veieu que la seva multiplicitat és 1.
Per tant, tindré una constant partit S menys 1 i un altre terme serà una altra constant que aportarà el terme S més 3.
I ja està, perquè les dues són arrels simples.
Ah, i que algú m'ha dit algo, m'he deixat una T en algun lloc?
Per què és cosinos 2? No, jo he posat T, no entenc la pregunta.
Va, anem a seguir.
Eh, Juan José, no entenc la pregunta.
Cosino de 2T? Jo he posat cosino de 2T.
Ah, perquè miro la taula aquí, miro S partit i S quadrat més 4, miro a la taula qui s'assembla a això, vale?
Qui s'assembla a això? A la taula.
A veure, qui s'assembla a això en aquesta taula?
Eh, doncs el que més s'assembla és aquest d'aquí, perquè té una S, té una S, té una S al quadrat en el denominador i l'òmega al quadrat, perquè sigui 4, l'òmega de valer 2.
Llavors, vale, vale, ok.
Eh, vale, doncs segueixo. Descomposició en fraccions simples. Com que tenim dues arrels simples, la descomposició seria aquesta, vale?
Aquí hem de calcular què val A i què val B per fer aquesta descomposició.
Hi ha moltes maneres de calcular l'A i la B. He vist maneres de fer això que ocupen, sense exagerar, eh, un fol per davant, que dius,
madre mía, que al final ho aconsegueixen, eh, però dius que potser no calia escriure tant.
A mi m'agrada molt una tècnica que no la soleu conèixer, potser algú la coneix, eh, però a mi m'agrada molt una tècnica que es diu Heavisight Cover-up Method.
Heavisight Cover-up Method.
En què consisteix aquesta tècnica de cover-up?
Mireu, primer ho faig i després us l'explico, vale? Vaig a calcular A.
Per calcular A, jo taparia l'S menys U, ara explicaré per què, eh, i substituiria en U un quart, l'A val un quart.
Ara vaig a calcular la B. Com que estic calculant la B, que està associada a l'S més 3, tapo l'S més 3, no existe, no lo veo, i substitueixo el que queda en S igual a menys 3, vale?
Menys 3 dividit, menys 3 menys 1, menys 4. Menys 3 dividit, menys 4, tres quarts.
Ja he fet la descomposició en fraccions simples. Ho podeu fer més llarg si us sentiu còmodes amb altres maneres que coneixeu de fer-ho,
però el que no pot ser és que dediqueu 15 minuts de l'examen a trobar l'A i la B, vale? Com funciona el mètode aquest del cover-up?
Mireu, vaig a imaginar que vull trobar l'A, vale? Imagineu que vull trobar l'A. El que estic fent, en realitat, és multiplicar tota l'equació per S menys U.
Quan jo multiplico l'equació per S menys U, fixeu-vos que aquest es simplifica, i després substitueixo, és a dir, primer multipliquem per S menys U,
i després substituïm en S igual a U. Quan jo substitueixo en S igual a U... Ah, perdoneu, aquest S menys U també simplifica, eh? Vale.
I ara, substitueixo en S igual a U, i què passa? U menys U, 0 petatero. Esto me da 0. 0 pel que sigui, aquest terme s'anul·la i dona 0.
Aquí ha quedat l'A soleta. I què va a l'A? Doncs aquí queda 1 dividit 4, un quart, vale?
Per tant, quan un vol trobar que va a l'A i té només arrels simples, com és aquest cas, pot utilitzar el heavy sight cover-up method,
que és equivalent a multiplicar tot per el denominador que tingui l'A. Això fa que es simplifiqui aquí,
i el substituir en S igual al valor que tingueu aquí, això s'anul·la i et queda el que va a l'A, vale?
Podeu fer el mateix amb la B. No passa, en el cas de la B has de multiplicar tota l'equació per S més 3,
i substituir en el valor S igual a menys 3, vale?
Molt bé, jo segueixo, perquè això es calculo, vale? Descomposició en fraccions simples.
Llavors, fixeu-vos que, potser ho faig aquí dalt, vale?
El que acabem de trobar és que, en realitat, el que em demanen és calcular l'anti transformada de un quart,
que és el que va a l'A, per 1 partit S menys 1, més el que va a la B, que és 3 quarts, per 1 partit S més 3, vale?
Perquè, aquí al mig, hem fet aquesta feina de calcular la descomposició en fraccions simples, vale?
Molt bé, una vegada hem escrit això, recordem que, ara això ho puc escriure, com utilitzar les propietats de linearitat, vale?
Si utilitzo les propietats de linearitat, això és un quart que surt a fora multiplicant,
per l'anti transformada de 1 partit S menys 1, més el 3 quarts, que surt a fora, per l'anti transformada de 1 partit S més 3.
I ara, aquestes anti transformades surten a la taula, 1 partit S menys 1, 1 partit S més 3, són bàsicament exponencials, veieu?
Per tant, 1 partit S menys 1, serà simplement E elevat a T, vamos a ponerlo.
M'hi estic quedant sense lloc, aquí, eh?
Em quedava un poco feo, eh? Ja sé que hi ha aquí a baix, vale?
Això serà un quart, per, ara, l'anti transformada de 1 partit S menys 1 surt a la taula, és E elevat a T,
més 3 quarts, vale? Més 3 quarts, i ara l'anti transformada de 1 partit S menys 3.
1 partit S menys 3, 1 partit S menys 3, voldria dir que la A val menys 3, perquè quedi S menys 3.
Per tant, aquesta A és menys 3, E elevat a menys 3, T.
E elevat a menys 3, T, vale?
Per tant, l'anti transformada que ens estàvem demanant és aquesta d'aquí, vale?
Seria la solució de l'anti transformada aquesta d'aquí, vale?
Llavors, heu de practicar calcular antitransformades, vale?
Perquè ja veureu que sempre, a l'hora de resoldre qüestions diferencials,
serà el pas que portarà una miqueta més de feina, vale?
El que vaig a fer ara és parlar de com resoldre problemes de valor inicial
amb la transformada de la PLAS, vale?
Llavors, vaig a fer una breu, breu explicació ja directament amb un exemple, vale?
Llavors, anem a veure ara la resolució, resolució d'un problema de valor inicial
amb la transformada de la PLAS, vale?
Llavors, per utilitzar la transformada de la PLAS a l'hora de resoldre un problema de valor inicial,
el que farem és el següent.
Primer, anem a imaginar que aquí tenim com una línia divisòria,
vaig a fer aquí una línia, impintem punteada,
i aquesta línia ens està separant dos dominis, vale?
El que anomenem el domini del temps
i el que anomenem el domini de la freqüència, el domini aquest de la variable S, vale?
Jo tinc un problema de valor inicial que vull resoldre
i que normalment el tinc en el domini del temps, vale?
Que és on vivim, vale?
Llavors, vaig a posar un exemple utilitzant colorets
i anem a suposar que aquest problema de valor inicial
sigui i' de t menys i de t igual a zero.
Per tant, una edo, una equació diferencial senzilla,
és l'exemple més fàcil que veurem, però és per començar,
i que volem resoldre amb unes condicions inicials.
Com que és una edo de primer ordre, tinc una condició inicial,
em va caure el llapis i fa unes coses llaríssimes,
t'adoneu, vale, una concentració.
Vale, i la condició inicial és calir en zero, vale.
Vale, nosaltres sabem com resoldre això d'altres maneres,
perquè ho hem vist al llarg del curs,
però també hem vist que totes aquestes maneres depenen molt de
quin és l'ordre de la edo, de quin tipus és la edo,
si és d'aquest tipus fes això, si és d'aquest altre tipus fes aquesta altra cosa.
En canvi, amb la transformada de la plaç,
veurem que el procediment que explicaré ara
servirà per qualsevol ordre d'edo que tinguem.
L'única condició és que necessitem que sigui un problema de valor inicial.
Necessitarem, sí o sí, voler trobar una solució particular
a unes condicions inicials concretes, vale.
No serà possible, mitjançant la transformada de la plaç,
trobar solucions generals d'una edo.
Això no serà possible, vale.
Però sí, ens servirà per directament trobar la solució particular
que satisfà unes condicions inicials concretes, vale.
Per tant, és la tècnica ideal perfecta per resoldre problemes de valor inicial
on no t'importa trobar primer la solució general de la edo,
perquè tu vols trobar una solució concreta, valent.
Molt bé, i quin és el procediment per resoldre això?
Doncs mireu, la idea és la següent.
La idea és agafar i anar-nos des del domini del temps cap al domini de la freqüència.
Com? Calculant la transformada de la plaç, vale.
Quan jo calculo la transformada de la plaç d'una edo,
aquí és on intervé la superpropietat aquesta d'aquí,
la de la derivada, esta, vale.
Aquesta propietat, això és bestial perquè et diu
allò que en el domini del temps és una derivada,
te lo cambio en el domini de la freqüència per multiplicar.
Què és més difícil, derivar o multiplicar?
Dir derivar és més difícil, vale.
Per tant, la idea és, anem a utilitzar aquesta propietat, vale,
que f' de t, quan li calculo la transformada,
es transforma simplement en multiplicar per essa la transformada i restar-li f en 0, vale.
Per tant, anem aquí, anem a fer-ho.
La transformada d'aquesta equació, la transformada d'i' de t
menys i de t haurà de ser igual a la transformada de 0, vale.
Fixeu-vos que quan jo ara calculo això, la transformada és lineal,
per tant això serà la transformada d'i', menys la transformada d'i
i la transformada de 0 és 0, vale.
Per tant, transformada d'i', aquí utilitzem la propietat de la derivada.
El que en el domini del temps és derivar, en el domini de la freqüència és multiplicar per essa
la transformada de la i de t, però la transformada de i de t l'hi dirien i' de s.
Aquest és el conveni que tenim nosaltres per escriure-ho més àgil.
Menys el que valgui la funció en el 0, vale.
Això d'aquí és la transformada de la i', és això d'aquí, vale.
Acabem de canviar una derivada per multiplicar per s.
Molt bé, seguim. Quina és la transformada de la i de t?
Bueno, hem decidit que la nostra notació per la transformada de i de t és i' de s, ja està.
És un conveni que tenim nosaltres, vale.
I a més, la condició inicial me la donen, la i en 0 val 1.
Ah, per això és tan important tenir la condició inicial, per això és tan vital,
perquè la necessito a l'hora d'aplicar aquesta propietat de la derivada,
m'apareix aquí el valor de la funció en el 0.
Que si no el conec, si no el tinc, fa impossible poder resoldre ara aquesta equació.
Que és una equació algebraica, eh? És molt fàcil, ara.
Fixeu-vos que acabem d'arribar a una equació algebraica.
Equació algebraica, ja no és una ero, ja no hi ha derivades.
Resoldre això és trivial.
Això és facilíssim.
Resoldre una equació algebraica és simplement, en aquest cas, aïllar la i de s,
que és la nostra incòmita. Què val, i de s? Anem aïllar-la.
Aviam, anem a fer poc a poc, eh?
Fixeu-vos que la i de s està multiplicant s i està, si la treu, factor comú,
i a aquest el passo a l'altre costat.
He tret la i de s, factor comú, multiplica la s i multiplica de menys 1,
per tant, queda ser menys 1, i aquest terme d'aquí va a la dreta en signar positiu.
Per tant, resolt la i de s és simplement 1 partit s menys 1.
Acabo de resoldre una edo.
Acabo de resoldre una edo simplement aïllant la i de s.
És trivial, és facilíssim, és una equació algebraica, no hi ha derivades.
Esto es muy fácil.
Què falta ara?
Bueno, el que falta ara és que si algú et va proposar un problema de valor inicial en el domini del temps,
espera que tu li resolguis en el domini del temps.
Per tant, espera que tu t'encarreguis de desfer el camí que havies fet
i calculis l'antitransformada de i de s,
aquesta línia la vaig fer un poc més llarga,
calculis l'antitransformada i diguis què vàlida té.
Doncs fixeu-vos, l'antitransformada de 1 partit s menys 1 què serà?
Me'l vaig a la taula.
1 partit s menys 1 és un exponencial de t.
Per tant, surt a la taula transformada i és e elevat a t.
I fixeu-vos, aquí la gràcia en què està del problema de valor inicial que jo tenia en el domini del temps,
he anat al domini de la freqüència, això és una petita incomoditat,
però a canvi aquest pas és trivial, resoldre aquí és trivial, facilíssim.
Resolt i torno al domini del temps.
I què m'he estalviat?
M'he estalviat això que és molt difícil,
que és resoldre l'aedo en el domini del temps.
En lloc d'anar per aquí faig la volta.
I aquest pas és molt fàcil, trivial, estem molt contents de resoldre-ho aquí,
perquè és una equació algebraica.
Llavors, aquest exemple que he fet per il·lustrar-ho és molt senzill.
Llavors què passa? Que anar cap aquí, calcular l'antitransformada,
a més a més és molt fàcil perquè aquesta funció directament surt de la taula de transformades.
Llavors el que m'agradaria, perquè a més me dona temps,
és fer ara un exemple on resoldrem un problema de valor inicial
fent aquest procediment on no sigui tan tan fàcil.
Preguntes, però.
Hi ha alguna pregunta sobre això?
No?
Vale, anem a fer un problema.
Casoleu, exemple.
Casoleu el problema de valor inicial i segona menys i
igual a T amb les condicions inicials que i en 0 val 1 i que la i prima en 0 també val 1.
Aquest és el meu problema de valor inicial utilitzant la transformada d'arbres.
Per resoldre aquest problema el que farem és, primer de tot, calculem la transformada de la plaça de l'EDO.
Calculem la transformada de la plaça de l'EDO donada.
Per tant, és aquest pas d'aquí.
El primer que fem és anar cap al domini de les esses.
Calculem la transformada de tot el terme esquerre de la meva EDO.
I prima prima T, menys i de T.
I això ha de ser igual a la transformada de la dreta.
Si aquesta funció és igual en aquesta funció, les seves transformades de la plaça han de ser la mateixa.
Ara aquí, per passar d'aquí a aquí, el següent pas que faré és utilitzar la propietat de linearitat.
La transformada de i prima prima menys la transformada de i.
Serà igual a la transformada de T.
Fixeu-vos que he utilitzat, això és un signament, i per la propietat de linearitat ho puc separar en dues transformades diferents.
Ara he de recordar com calcular la transformada d'una derivada segona.
Vaig a la taula de propietats i observo aquí com es calcula la transformada d'una derivada segona.
Si la funció es diu F, la derivada segona de F de T és S al quadrat que multiplica la transformada de la F, que es diu F major escola de S.
I després hi ha dos termes més que són, menys S per F zero, menys F prima.
Per tant, utilitzem això.
La escriuré aquí, la podem escriure aquí per tenir-la més present.
Utilitzem aquesta propietat.
Ara la nostra funció no es diu F, es diu Y, per tant, on aquí tenia F major escola, què tindré? Y major escola.
Per tant, aplico aquesta propietat a la funció i segona de T.
I em quedarà S al quadrat, Y major escola de S, menys S pel que val la funció i de T en zero, menys el que val la i prima en zero.
Això seria la transformada de I prima prima de T, és tot això d'aquí, i hem utilitzat aquesta propietat de la derivada segona.
Ara, simplement seguim escrivint aquestes transformades, menys la transformada de I, menys la transformada de I, li diem I major escola.
I això ha de ser igual a la transformada de T.
La transformada de T, anem-la a mirar a la taula, pam pam pam, la transformada de T, on estàs?
La transformada de T és 1 partit S quadrat, per tant, surt a la taula, simplement posarem 1 partit S quadrat.
El primer que faré ara és substituir les condicions inicials que m'hagin donat.
La i en zero val 1 i la i prima en zero també val 1.
Per tant, de les primeres coses que faré ara és dir, doncs això val 1 i això també m'estan dient que val 1.
Una vegada hem substituït les condicions inicials, l'única cosa que queda ara per fer és resoldre l'equació.
Qui és la incògnita? La I major escola, la Y major escola de S és la nostra incògnita.
Per tant, he d'aconseguir, volem, aïllar, Y major escola de S, que és la incògnita.
Anem a veure si ho podem fer.
Per exemple, podem treure la I de S factor comú.
Aquí tinc una I de S que multiplica S al quadrat i per aquí hi ha una altra I de S que simplement va multiplicada per menys 1.
I les altres coses les posaria a la dreta. A la dreta hi tinc 1 partit S quadrat, que ja hi era,
i a més a més hi col·locaré el menys S, que passarà en signa positiu, i serà més S.
I també posaré a l'altre costat aquest menys 1, que passarà aquí com més 1.
I ara sí, la I de S queda... Deixem-me que faci aquesta operació.
Això quedaria S al cub, més S al quadrat, d'acord?
I ara sí, la I de S quedarà 1 menys S quadrat, menys S al cub, dividit S quadrat menys 1 per S quadrat.
Fixeu-vos que he agafat aquest S quadrat menys 1 i l'he passat dividint en aquest costat d'aquí.
Anem bé? Fins aquí hi ha dubtes?
Això seria la solució de la Edo. Jo aquí ja he fet aquest pas d'anar cap a baix, de resoldre.
Fins aquí ha estat molt fàcil. Què falta ara?
No pots donar la solució al món de les S. No a tothom li agrada treballar en el món de la freqüència.
Si t'han plantejat el problema en el domini del temps, tu has de tornar a donar la solució en el domini del temps.
Per tant, sempre l'últim pas serà antitransformar.
Per tant, l'últim pas, finalment...
La I de T que estem buscant serà l'antitransformada de, per escriure menys i que s'entengui fins i tot millor, d'aquesta I de S que hem trobat.
Per tant, l'últim pas és calcular l'antitransformada de la I de S que acabem de trobar aquí.
Òbviament, per poder trobar l'antitransformada d'això, ara, quan ho mires a la taula, no està a la taula.
Aquesta no és una antitransformada directa, sinó que caldrà fer descomposició en fraccions simples.
Per tant, això sí, us ho deixo a vosaltres per fer casa, caldrà fer la descomposició en fraccions simples
per poder calcular aquestes antitransformades.